MATEMÁTICOS EXPLORAN EL ENLACE ESPEJO ENTRE DOS MUNDOS GEOMÉTRICOS
Décadas después de que los
físicos se toparan con una asombrosa coincidencia matemática, los
investigadores se están acercando a la comprensión del vínculo entre dos
universos geométricos aparentemente no relacionados.
Hace veintisiete años, un grupo de
físicos hizo un descubrimiento accidental que colocó a las matemáticas de
cabeza. Los físicos trataban de descifrar los detalles de la teoría de cuerdas
cuando observaron una correspondencia extraña.
Para los físicos, la correspondencia fue
interesante. Para los matemáticos, era absurdo. Estudiaban estos dos entornos
geométricos aislados unos de otros durante décadas. Afirmar que estaban
íntimamente relacionados parecía poco probable, tanto como afirmar que en el
momento en que un astronauta salta a la luna, una conexión oculta hace que su
hermana salte de vuelta a la Tierra.
«Parecía totalmente escandaloso», dijo
David Morrison, un matemático de la Universidad de California, Santa Bárbara, y
uno de los primeros matemáticos en investigar los números coincidentes.
Casi tres décadas después, la
incredulidad ha dado paso a la revelación. La relación geométrica que los
físicos observaron por primera vez es el tema de uno de los campos más
florecientes de las matemáticas contemporáneas. El campo se llama «simetría
especular»[ii],
en referencia al hecho de que estos dos universos matemáticos aparentemente
distantes parecen reflejarse de un mismo modo. Y de acuerdo a la observación de
esa primera correspondencia (dos conjuntos de números coincidentes), los matemáticos han encontrado muchos
ejemplos más de una complicada relación de reflejo[iii]: no solo el
astronauta y su similar saltan juntos, sino que agita sus manos y sueña al
unísono también.
Recientemente, el estudio de la simetría
especular ha dado un nuevo giro. Después de años de descubrir que subyacenten más
ejemplos del mismo fenómeno, los matemáticos se están acercando a una
explicación de por qué ocurre el fenómeno.
«Estamos llegando al punto donde hemos
encontrado tierra firme. Pronto tendremos respuestas concluyes», dijo Denis
Auroux, matemático de la Universidad de California, Berkeley.
Diversos grupos de matemáticos están
avanzando en el intento de encontrar una explicación fundamental para la
simetría especular. Se están acercando a las pruebas de las conjeturas
centrales en el campo. Su trabajo es descubrir una forma de ADN geométrico, un
código compartido que explica cómo dos mundos geométricos radicalmente
diferentes podrían tener rasgos en común.
Descubriendo
el espejo
Lo que eventualmente se convertiría en
el campo de la simetría especular comenzó cuando los físicos buscaron algunas
dimensiones adicionales. Ya en los últimos años de la década de 1960, los
físicos habían tratado de explicar la existencia de partículas fundamentales
(electrones, fotones, quarks) en términos de minúsculas cuerdas vibratorias. Para
la década de 1980, los físicos entendieron que para hacer funcionar la «teoría
de cuerdas», las cuerdas tendrían que existir en 10 dimensiones, seis más que
el espacio-tiempo de cuatro dimensiones que podemos observar. Propusieron que
lo que ocurría en esas seis dimensiones invisibles determinaba las propiedades
observables de nuestro mundo físico.
«Es posible que este pequeño espacio no se pueda ver o medir directamente,
pero algunos aspectos de la geometría de
ese espacio pueden influir en la física del mundo real», dijo el matemático
Mark Gross, de la universidad de Cambridge.
Finalmente, se les ocurrieron posibles
descripciones de las seis dimensiones. Antes de llegar a ellos, vale la pena
pensar un poco sobre lo que significa que un espacio tenga geometría.
Considera una colmena y un rascacielos. Ambas
son estructuras tridimensionales, pero cada una tiene una geometría muy
diferente: sus diseños son diferentes, como son diferentes la curvatura de sus
exteriores y sus ángulos interiores. Del mismo modo, los teóricos de cuerdas
idearon formas muy diferentes de imaginar las seis dimensiones faltantes.
Surgió entonces un método en el campo de
la geometría algebraica. Aquí, los matemáticos estudiaron ecuaciones
polinomiales, por ejemplo, x2 + y2 = 1, graficando sus soluciones (un círculo,
en este caso). Las ecuaciones más complicadas pueden formar espacios
geométricos elaborados. Los matemáticos exploraron las propiedades de esos
espacios para comprender mejor las ecuaciones originales. Debido a que los investigadores
a menudo usan números complejos, estos espacios se conocen comúnmente como variedades (o formas) «complejas».
El otro tipo de espacio geométrico se
construyó primero pensando en sistemas físicos como planetas en órbita. Los
valores de coordenadas de cada punto en este tipo de espacio geométrico podrían
especificar, por ejemplo, la ubicación y el momento de un planeta. Si tomas
todas las posiciones posibles de un planeta junto con todos los momentos
posibles, obtienes el «espacio de fase»
del planeta, un espacio geométrico cuyos puntos proporcionan una descripción
completa del movimiento del planeta.
Este espacio tiene una estructura «simpléctica»[iv] que codifica las leyes físicas que rigen el movimiento del planeta. Geometrías
simplécticas y complejas son tan diferentes entre sí como la cera de abeja y el
acero. Hacen muy diferentes tipos de espacios. Las formas complejas tienen una
estructura muy rígida. Piensa de nuevo en el círculo. Si lo mueves un poco, ya
no es un círculo. Es una forma completamente distinta que no puede describirse
mediante una ecuación polinómica[v].
La geometría simpléctica es mucho más floja. Allí, un círculo y un círculo con
un pequeño meneo son casi los mismos.
«La
geometría algebraica es un mundo más rígido, mientras que la geometría
simpléctica es más flexible»,
dijo Nick Sheridan, investigador de Cambridge. «Esa es una de las razones por las que son mundos tan diferentes, y es
tan sorprendente que terminan siendo equivalentes en un sentido profundo».
A finales de la década de 1980, los
teóricos de cuerdas idearon dos formas de describir las seis dimensiones
faltantes: una derivada de la geometría simpléctica, el otro de la geometría
compleja. Demostraron que cualquier tipo de espacio era consistente con el
mundo tetradimensional que intentaban explicar. Tal emparejamiento se llama dualidad: cualquiera funciona, y no hay
prueba que pueda usar para distinguir entre ellos.
Los físicos comenzaron a explorar hasta
qué punto se extendía la dualidad. Al hacerlo, descubrieron conexiones entre
los dos tipos de espacios que llamaron la atención de los matemáticos.
«Creo
que estamos llegando al punto en que todas las grandes preguntas sobre ‘¿por
qué?’ están a punto de ser entendidas»:
Denis Auroux
En 1991, un equipo de cuatro físicos - Philip
candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes - realizaron un cálculo
en el lado complejo y generaron números que usaron para hacer predicciones
sobre los números correspondientes en el lado simpléctico. La predicción tenía
que ver con la cantidad de diferentes tipos de curvas que se podían dibujar en
el espacio simpléctico de seis dimensiones. Los matemáticos habían luchado
mucho para contar estas curvas. Nunca habían considerado que estos recuentos de
curvas tuvieran algo que ver con los cálculos en espacios complejos que los
físicos usan ahora para hacer sus predicciones.
El resultado fue tan exagerado que, al
principio, los matemáticos no sabían qué hacer con él. Pero luego, en los meses
posteriores a una apresura reunión convocada por físicos y matemáticos en
Berkeley, California, en mayo de 1991, la conexión se hizo irrefutable. «Eventualmente
los matemáticos trabajaron para verificar las predicciones de los físicos y se
dieron cuenta de que esta correspondencia entre estos dos mundos era algo real
que pasó desapercibido a los ojos de los matemáticos que habían estado
estudiando los dos lados de este espejo durante siglos», dijo Sheridan.
El descubrimiento de esta dualidad
espejo significaba que, en poco tiempo, los matemáticos que estudiaban estos
dos tipos de espacios geométricos tenían el doble de herramientas a su
disposición: ahora podían usar técnicas
de geometría algebraica para responder preguntas en geometría simpléctica, y
viceversa. Se lanzaron al trabajo de explotar la conexión.
Romper
es difícil de hacer
Al mismo tiempo, matemáticos y físicos
se propusieron identificar una causa común, o una explicación geométrica
subyacente, para el fenómeno de reflejo. De la misma manera que ahora podemos
explicar similitudes entre organismos muy diferentes a través de elementos de
un código genético compartido, los matemáticos intentaron explicar la simetría
especular al descomponer las variedades simplécticas y complejas en un conjunto
compartido de elementos básicos llamados «fibras
torus».
Un toro es una forma con un agujero en
el centro, a manera de dona. Un círculo ordinario es un toro unidimensional cuya
superficie de dona es un toro bidimensional. Un toro puede tener cualquier
cantidad de dimensiones. Pegue muchos toros dimensionales inferiores de la
manera correcta, y puede construir una forma dimensional más alta a partir de
ellos.
Para tomar un ejemplo simple, imagina la
superficie de la tierra. Es una esfera bidimensional. También podría pensar que
está hecho de muchos círculos unidimensionales (como muchas líneas de latitud)
pegados. Todos estos círculos unidos forman una «fibración torus» de la esfera:
las fibras o fragmentos individuales se entrelazan en un todo mayor.
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| Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine |
Los fragmentos o fibraciones torus son
útiles de muchas formas. Una es que les dan a los matemáticos una manera más
simple de pensar en espacios complicados. Del mismo modo que puede construir
una fibra torus de una esfera bidimensional, puede construir una fibración
toroidal de los espacios simplécticos y complejos de seis dimensiones que se
caracterizan por la simetría de los espejos. En lugar de círculos, las fibras
de esos espacios son tori tridimensionales. Y mientras que una variedad
simpléctica de seis dimensiones es imposible de visualizar, un toro
tridimensional es casi tangible. «Eso ya es una gran ayuda», dijo Sheridan.
Una fibración de toro también es útil cuando
reduce un espacio de espejo a un conjunto de bloques de construcción que podría
usar para construir el otro. En otras palabras, no necesariamente puede
entender a un perro mirando a un pato, pero si divide cada animal en su código
genético puro, puede buscar similitudes que podrían hacer que parezca menos
sorprendente que ambos organismos tengan ojos.
Aquí, en una vista simplificada, se
muestra cómo convertir un espacio simpléctico en su espejo complejo. Primero,
realice una fibración torus en el espacio simpléctico. Obtendrás muchos tori
cada toro tiene un radio (como un círculo, un toro unidimensional, tiene un
radio). Luego, toma el recíproco del radio de cada toro. (Entonces, un toro de
radio 4 en su espacio simpléctico se convierte en un toro de radio ¼ en el
espejo complejo.) Luego use estos nuevos toros, con radios recíprocos, para
construir un nuevo espacio.
Otra importante línea de investigación
abierta busca establecer que, suponiendo que tengas una fibrilación torus, que
te proporcione espacios espectrales, entonces todas las relaciones más
importantes de la simetría especular caerán desde allí. El programa de
investigación se llama «family flower theory»
y está siendo desarrollado por Mohammed Abouzaid, un matemático de la Universidad
de Columbia. En marzo de 2017, Abouzaid publicó un documento que demostraba que esta cadena de lógica se
mantiene para ciertos tipos de pares de espejos, pero no en todos aún.
Y, finalmente, hay un trío de
matemáticos - Sheridan, Sheel Ganatra y Timothy Perutz – que construye nuevos
planteamientos sobre algunas ideas fundamentales introducidas en los años 90
por Kontsevich, relacionadas con su conjetura de simetría homóloga de espejo. Acumulativamente, estas tres
iniciativas proporcionarían una encapsulación potencialmente completa del
fenómeno del espejo. «Creo que estamos llegando al punto en que todas las
grandes preguntas sobre 'por qué' están a punto de ser entendidas», dijo Auroux.
El siguiente video (2:21 min) «cómo la simetría da forma a las leyes de
la naturaleza» se complementa la idea planteada en este artículo, con la explicación de David Kaplan. Se se desea, pueden activarse los subtítulos en español.
[iv] http://www.conacytprensa.mx/index.php/ciencia/humanidades/19414-que-es-la-geometria-simplectica
[v] Un polinomio es una suma de productos de
números por potencias enteras de una variable. Una ecuación polinómica es
aquella en la que los dos miembros son polinomios de la misma
variable. Por ejemplo, x3(x – 1) = x (x + 2)
Mark Gross, a mathematician at the University of Cambridge, and a
colleague are putting the finishing touches on a proof that establishes a
universal method for constructing one mirror space from another.
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